В больнице всегда есть дежурный врач) Даже в самой задрыпанной, а мы говорим об областном центре в данном случае. Там маленьких больничек вообще нет.
Выписывает обычно завотделения + лечащий врач. Вот они да, не обязаны в выходные быть на рабочем месте, если не их очередь дежурить.